Question

设双曲线的顶点是椭圆

x2

3

+

y2

4

=1的焦点，该双曲线又与直线

15

x-3y+6=0交于两点A、B且OA⊥OB（O为原点）．
（1）求此双曲线的标准方程； 
（2）求|AB|的长度．

Answer 1

分析：（1）利用条件双曲线的顶点是椭圆

x2

3

+

y2

4

=1的焦点，可以假双曲线的方程为y2-

x2

b2

=1，再结合条件OA⊥OB，可求双曲线的标准方程；（2）求|AB|的长度，利用两点间的距离公式求解．

解答：解：（1）椭圆

x2

3

+

y2

4

=1的焦点为（0，±1），依题意设双曲线的方程为y2-

x2

b2

=1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

15

x1=3y1-6，

15

x2=3y2-6，∴15x₁x₂=9y₁y₂-18（y₁+y₂）+36，
∴x1x2=

3y1y2-6(y1+y2)+12

5

由 OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴4y₁y₂-3（y₁+y₂）+6=0…①
由

y2- x2 b2 =1 15 x-3y+6=0

，∴（15b²-9）y²+36y-（15b²+36）=0…②
∴y1+y2=

36

9-15b2

，y1y2=

15b2+36

9-15b2

，代入①中得b²=3∴双曲线的方程为y2-

x2

3

=1
（2）将b²=3代入②式中，得4y²+4y-9=0，y1+y2=-1，y1y2=-

9

4

∴|AB|=

1+ 1 k2

|y2-y1|=

1+ 3 5

•

1-4×(- 9 4

)=4

点评：本题（1）问利用直线与曲线联立方程组，采用设而不求的方法，关键是设点；（2）问则在（1）问得基础上借助于两点间的距离公式求解．属于中档题．