Question

某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2005年进行一系列的促销活动．经市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费用t万元之间满足：3-x与t+1成反比例．如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．又2005年生产化妆品的固定投资为3万元，每生产1万件化妆品需再投资32万元．当将化妆品的售价定为“年平均成本的150%”与“年平均每件所占促销费的一半”之和，则当年的产销量相等．
（1）试用促销费用t表示年销售量x．
（2）将2005年的利润y万元表示为促销费t万元的函数．
（3）该企业2005年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

Answer 1

分析：（1）根据题意，3-x与t+1成反比例，列出关系式，然后根据当t=0时，x=1，求出k的值
（2）通过x表示出年利润y，并化简，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（3）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．

解答：解：（1）由题意：3-x=

k

t+1

，
且当t=0时，x=1．
所以k=2，即x=

3t+1

t+1

．

（2）当年销量为x万件时，成本为3+32x（万元）．
化妆品的售价为

3+32x

x

×150%+

1

2

×

t

x

（万元/万件）
所以年利润y=(

3+32x

x

×150%+

1

2

×

t

x

)x-(3+32x+t)（万元）
把x=

3t+1

t+1

代入整理得到y=

-t2+98t+35

2(t+1)

，其中t≥0．
去分母整理得到：t²+2（y-49）t+2y-35=0．

（3）该关于t的方程在[0，+∞）上有解．
当2y-35≤0，即y≤17.5时，必有一解．
当2y-35＞0时，该关于t的方程必须有两正根
所以

4(y-49)2-4(2y-35)≥0 -2(y-49)＞0 2y-35＞0

．解得：17.5＜y≤42．
综上，年利润最大为42万元，此时促销费t=7（万元）．

点评：本题考查函数解析式的求法，注意建模、解模，实际问题的处理时，函数的定义域的范围；考查理解问题分析问题和解答问题的能力．属于中档题．