Question

已知椭圆的中心是坐标原点O，它的短轴长为2，右焦点为F，直线l：x=2与x轴相交于点E，，过点F的直线与椭圆相交于A，B两点，点C和点D在l上，且AD∥BC∥x轴．
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）求证：直线AC经过线段EF的中点．

Answer 1

【答案】分析：（I）设出椭圆的标准方程，根据短轴长求得b，进而根据 联立方程组，求得a和c，则椭圆的方程和离心率可得．
（II）根据F和E的坐标，求得N的坐标，当AB⊥x轴时A，B，C的坐标可知，进而求得AC中点的坐标，判断出AC经过线段EF的中点N；当AB不垂直x轴时，则直线AB斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x-1），分别表示出AN和CN的斜率，进而表示出两斜率之差求得结果为0，可知k₁=k₂且AN，CN有公共点N，进而可知A，C，N三点共线．推断出直线AC经过线段EF的中点N．最后综合可得结论．
解答：解：（I）设椭圆方程为：．
由2b=2得b=1．
又 ，∴解得 ．
∴椭圆方程为：．
离心率 ．
（II）∵点F（1，0），E（2，0），∴EF中点N的坐标为 ．
①当AB⊥x轴时，A（1，y₁），B（1，-y₁），C（2，-y₁），
那么此时AC的中点为 ，即AC经过线段EF的中点N．
2当AB不垂直x轴时，则直线AB斜率存在，
设直线AB的方程为y=k（x-1），
由（*）式得 ．
又∵x₁²=2-2y₁²＜2，得 ，
故直线AN，CN的斜率分别为 ，
∴．
又∵（x₁-1）-（x₂-1）（2x₁-3）=3（x₁+x₂）-2x₁x₂-4，
=．
∴k₁-k₂=0，即k₁=k₂．
且AN，CN有公共点N，∴A，C，N三点共线．
∴直线AC经过线段EF的中点N．
综上所述，直线AC经过线段EF的中点．
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程．涉及了直线与椭圆的关系，在设直线方程的时候，一定要考虑斜率不存在时的情况，以免答案不全面．