Question

已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为

2

2

，又椭圆上任一点到两焦点的距离和为2

2

，过点M（0，-

1

3

）与x轴不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）在y轴上是否存在定点N，使以PQ为直径的圆恒过这个点？若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由椭圆定义可知2a=2

2

，由此可得a值，再由离心率可得c值，由a²=b²+c²可求b值；
（2）设l的方程为y=kx-

1

3

，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），假设在y轴上存在定点N（0，m）满足题设，则对于任意的k∈R，

NP

•

NQ

=0恒成立，联立直线l与椭圆方程，消掉y得x的方程，由韦达定理及向量的数量积运算可把

NP

•

NQ

=0化为关于k的恒等式，从而可得m的方程组，解出即可．

解答：解：（1）因为离心率为

2

2

，又2a=2

2

，∴a=

2

，c=1，故b=1，故椭圆的方程为

x2

2

+y2=1；
（2）设l的方程为y=kx-

1

3

，
由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

得（2k²+1）x²-

4

3

kx-

16

9

=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=

4k

3(2k2+1)

，x_1•x₂=-

16

9(2k2+1)

，
假设在y轴上存在定点N（0，m）满足题设，则

NP

=(x1，y1-m)，

NQ

=(x2，y2-m)，

NP

•

NQ

=x₁x₂+（y₁-m）（y₂-m）=x₁x₂+y₁y₂-m（y₁+y₂）+m²
=x₁x₂+（kx₁-

1

3

）（ kx₂-

1

3

）-m（kx₁-

1

3

+kx₂-

1

3

）+m²
=（k²+1）x₁x₂-k（

1

3

+m）•（x₁+x₂）+m²+

2

3

m+

1

9

=-

16

9(2k2+1)

-k（

1

3

+m）•

4k

3(2k2+1)

+m²+

2

3

m+

1

9

=

18(m2-1)k2+(9m2+6m-15)

9(2k2+1)

，
由假设得对于任意的k∈R，

NP

•

NQ

=0恒成立，即

m2-1=0 9m2+6m-15=0

，解得m=1，
因此，在y轴上存在定点N，使得以PQ为直径的圆恒过这个点，点N的坐标为（0，1）．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解，考查向量的有关运算，考查学生分析解决问题的能力．