Question

已知圆C：x2+(y-

1

4

)2=

1

16

，动圆M与圆C外切，圆心M在x轴上方且圆M与x轴相切．
（I）求圆心轨迹M的曲线方程；
（II）若A（0，-2）为y轴上一定点，Q（t，0）为x轴上一动点，过点Q且与AQ垂直的直线与轨迹M交于D，B两点（D在线段BQ上），直线AB与轨迹M交于E点，求

AD

•

AE

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用动圆M与圆C外切，圆心M在x轴上方且圆M与x轴相切，可知M到C的距离等于M到直线y=-

1

4

的距离，从而圆心轨迹为抛物线；
（II）由题意，先求得D(

t

2

，

t2

4

)，B(-t，t2)，从而AB方程为y+2=

t2+2

-t

x，再求得E(-

2

t

，

4

t2

)，进而可表示

AD

•

AE

，利用基本不等式求最小值．

解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），则MC=

1

4

+y，即M到C的距离等于M到直线y=-

1

4

的距离，从而圆心轨迹M的曲线方程为x²=y；
（II）由题意，不妨设t＞0．设QB方程为：y=-

t

2

(x-t)与x²=y联立，求得D(

t

2

，

t2

4

)，B(-t，t2)，从而AB方程为y+2=

t2+2

-t

x，与x²=y联立，求得E(-

2

t

，

4

t2

)，∴

AD

•

AE

=

t2

2

+

8

t2

+4≥8，即

AD

•

AE

的最小值为8．

点评：本题考查轨迹方程的求法，以及抛物线定义的应用，考查直线与抛物线的位置关系，有一定难度．