Question

已知抛物线C₁：y=x²，椭圆C₂：x²+=1．
（1）设l₁，l₂是C₁的任意两条互相垂直的切线，并设l₁∩l₂=M，证明：点M的纵坐标为定值；
（2）在C₁上是否存在点P，使得C₁在点P处切线与C₂相交于两点A、B，且AB的中垂线恰为C₁的切线？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求导，设切点分别为（x₁，x₁²），（x₂，x₂²），求出直线l₁，l₂的方程，根据l₁⊥l₂可得结果；
（2）设P（x，x²），写出C₁在点P处切线方程，联立它与椭圆的方程，消去y，得到关于x一元二次方程，△＞0，利用韦达定理和（1）的结论即可求出点P的坐标．
解答：解：（1）y′=2x，
设切点分别为（x₁，x₁²），（x₂，x₂²）
则l₁方程为y-x₁²=2x₁（x-x₁）
即y=2x₁x-x₁² ①
l₂方程为y=2x₂x-x₂² ②
由l₁⊥l₂得2x₁2x₂=-1
即
所以，
即点M的纵坐标为定值．
（2）设P（x，x²），
则C₁在点P处切线方程为：y=2xx-x²
代入C₂方程4x²+y²-4=0
得4x²+（2xx-x²）-4=0
即（4+4x²）x²-4x³x+x⁴-4=0
设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）
则
△=16x⁶-16（1+x²）（x⁴-4）=16（4+4x²-x⁴）＞0   ③
由（1）知
从而，
即
进而得
解得，且满足③
所以这样点P存在，其坐标为．
点评：此题是个难题．本题考查了椭圆与抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，以及利用导数研究抛物线的切线方程，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（2）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，