Question

如图：是y=f（x）=x³﹣2x²+3a²x的导函数y=f'（x）的简图，它与x轴的交点是（1，0）和（3，0）

（1）求y=f（x）的极小值点和单调减区间

（2）求实数a的值．

Answer 1

考点：

利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

专题：

导数的综合应用．

分析：

（1）先利用其导函数f'（x）图象，判断导函数值的正负来求其单调区间，进而求得其极值．（注意是在定义域内研究其单调性）

（2）由图知，f'（1）=0且f'（3）=0，代入导函数解析式得到关于a的方程，解出即可．

解答：

解：（1）由f（x）=x³﹣2x²+3a²x的导函数y=f'（x）的图象可知：导函数f'（x）小于0的解集是（1，3）；

函数f（x）=x³﹣2x²+3a²x在x=1，x=3处取得极值，且在x=3的左侧导数为负右侧导数为正．

即函数在x=3处取得极小值，函数的单调减区间为（1，3）．

（2）由于f（x）=x³﹣2x²+3a²x的导函数f'（x）=ax²﹣4x+3a²，又由（1）知，f'（1）=0且f'（3）=0

则解得 a=1．

则实数a的值为1．

点评：

本题主要考查利用导数研究函数的极值以及函数的单调性，利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，也是教学中的重点和难点，学生应熟练掌握．