Question

已知A（-

3

2

，0），B（

3

2

，0）为平面内两定点，动点P满足|PA|+|PB|=2．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设直线l：y=k（x+

3

2

）（k＞0）与（1）中点P的轨迹交于M，N两点，求△BMN的最大面积及此时的直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）根据P到两个定点A、B的距离和等于定值，可得P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，结合椭圆的基本概念即可求出动点P的轨迹方程；
（2）由直线MN方程与椭圆方程联解，消去x得（1+4k²）y²-

3

ky-

1

4

k²=0．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用根与系数的关系算出|y₁-y₂|²=

4k 4+4k2

(1+4k2)2

，再用换元法结合二次函数的性质算出|y₁-y₂|的最大值为

3

3

，相应的k=±

2

2

．最后根据△BMN的面积S=

1

2

•|AB|•|y₁-y₂|，即可得出△BMN的最大面积为

1

2

，此时的直线l方程为 y=±（

2

2

x

6

4

）．

解答：解：（1）∵|PA|+|PB|=2，|AB|=

3

＜2
∴动点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
可得a=1，c=

3

2

，b=

a2-c2

=

1

4

，
因此，椭圆方程为x2+

y2

1 4

=1，可得动点P的轨迹方程为x²+4y²=1；
（2）由

y=k(x+ 3 2 ) x2+4y2=1

消去x，得（1+4k²）y²-

3

ky-

1

4

k²=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），可得

y1+y2= 3 k 1+4k2 y1y2= - k2 4 1+4k2

，
∴|y₁-y₂|²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=

4k 4+4k2

(1+4k2)2

，
令1+4k²=t，则|y₁-y₂|²=-

3

4t2

+

1

2t

+

1

4

当

1

t

=

1

3

，即t=3时|y₁-y₂|²的最大值为

1

3

，
可得|y₁-y₂|的最大值为

3

3

，相应的k=±

2

2

∵△BMN的面积S=

1

2

•|AB|•|y₁-y₂|
∴当且仅当k=±

2

2

时，△BMN的面积S=

1

2

×

3

×

3

3

=

1

2

，达到最大值
综上所述，△BMN的最大面积为

1

2

，此时的直线方程为y=±

2

2

（x+

3

2

），即y=±（

2

2

x

6

4

）．

点评：本题给出动点满足的条件，求动点的轨迹方程并求三角形面积的最大值．着重考查了椭圆的定义与概念、直线与圆锥曲线的位置关系和函数的最值讨论等知识，考查了转化化归与数形结合数学思想的应用，属于中档题．