题目内容

设x∈(0，
π
2
]，则函数（sin2x+
1
sin2x
)(cos2x+
1
cos2x
)的最小值是
 
．
分析：观察题设条件需要对表达式换元，进行造价转化，再新解析式下求最值．
解答：解：令sinx=t∈（0，1]（x∈(0，
π
2
]）
则函数（sin2x+
1
sin2x
)(cos2x+
1
cos2x
)=t2+
1
t2

=（t+
1
t
）2-2，t∈（0，1]
∵t+
1
t
≥2，等号当且仅当t=
1
t
=1时成立，
∴（sin2x+
1
sin2x
)(cos2x+
1
cos2x
)的最小值是2
故应填 2
点评：本题考点是不等式求最值，求解上要注意变换形式的作用，换元最大的好处是形式简单便于观察解题的方向．
练习册系列答案
相关题目
设x∈(0，
π
2
)，求函数y=
225
4sin2x
+
2
cosx
的最小值．
已知函数f（x）=asinx•cosx-
3
acos2x+
3
2
a+b（a＞0）
（1）写出函数的最小正周期和对称轴；
（2）设x∈[0，
π
2
]，f（x）的最小值是-2，最大值是
3
，求实数a，b的值．
已知函数f（x）=2cos
x
2
(
3
cos
x
2
-sin
x
2
)．
（1）设x∈[0，
π
2
]，且f（x）=
3
+1，求x的值；
（2）在△ABC中，内角A、B、C的对边的边长为a、b、c，AB=1，f（C）=
3
+1，且△ABC的面积为
3
2
，求a+b的值．
已知函数f（x）=
3
asinxcosx-a（cosx）2+b（a＞0）
（1）求函数f（x）的最小正周期以及单调递增区间；
（2）设x∈[0，
π
2
]，f（x）的最小值是-1，最大值是2，求实数a的值．
设x∈(0，
π
2
)，则函数y=
1
cos2x
+
2
2
sinx
的最小值为
6
6
．

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