题目内容

设x∈(0，
π
2
)，则函数y=
1
cos2x
+
2
2
sinx
的最小值为
6
6
．
分析：利用sin2x+cos2x=1，构造函数y=
1
cos2x
+
2
2
sinx
+4，然后配凑为
1
cos2x
+4cos2x，
2
sinx
+
2
sinx
+4sin2x
利用基本不等式，求出函数的最小值．
解答：解：
y=
1
cos2x
+
2
2
sinx
+4=
(
1
cos2x
+4cos2x)+(
2
sinx
+
2
sinx
+4sin2x)≥4+3
38
=10

取等号当且仅当
1
cos2x
=4cos2x
2
sinx
=4sin2x
，
∵x∈(0，
π
2
)，∴sinx=cosx=
2
2
，
即：x=
π
4
．
所以函数y=
1
cos2x
+
2
2
sinx
的最小值为：6．
故答案为：6．
点评：本题是中档题，合理构造函数利用基本不等式是解题的关键，注意等号成立的条件，满足“正、定、等”的应用．
练习册系列答案
相关题目
设x∈(0，
π
2
)，求函数y=
225
4sin2x
+
2
cosx
的最小值．
已知函数f（x）=asinx•cosx-
3
acos2x+
3
2
a+b（a＞0）
（1）写出函数的最小正周期和对称轴；
（2）设x∈[0，
π
2
]，f（x）的最小值是-2，最大值是
3
，求实数a，b的值．
已知函数f（x）=2cos
x
2
(
3
cos
x
2
-sin
x
2
)．
（1）设x∈[0，
π
2
]，且f（x）=
3
+1，求x的值；
（2）在△ABC中，内角A、B、C的对边的边长为a、b、c，AB=1，f（C）=
3
+1，且△ABC的面积为
3
2
，求a+b的值．
已知函数f（x）=
3
asinxcosx-a（cosx）2+b（a＞0）
（1）求函数f（x）的最小正周期以及单调递增区间；
（2）设x∈[0，
π
2
]，f（x）的最小值是-1，最大值是2，求实数a的值．

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