Question

已知动圆C经过点（0，m）（m＞0），且与直线y=-m相切，圆C被x轴截得弦长的最小值为1．记该圆圆心的轨迹为E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）是否存在曲线C与曲线E的一个公共点，使它们在该点处有相同的切线？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）依题意，曲线E是以（0，m）为焦点，以y=-m为准线的抛物线，所以曲线E的方程为x²=4my．…（2分）
设动圆圆心为A（a，

a2

4m

），则圆C方程为（x-a）²+（y-

a2

4m

）²=（

a2

4m

+m）²，
令y=0，得（x-a）²=

a2

2

+m²．
当a=0时，圆C被x轴截得弦长取得最小值2m，于是m=

1

2

，故曲线E的方程为x²=2y．…（5分）
（Ⅱ）假设存在题设的公共点B（b，

1

2

b²）．
圆C方程为（x-a）²+（y-

1

2

a²）²=（

1

2

a²+

1

2

）²，
将点B坐标代入上式，并整理，得（b-a）²[1+

1

4

（a+b）²]=

1

4

（a²+1）²．①…（7分）
对y=

1

2

x²求导，得y′=x，则曲线E在点B处的切线斜率为b．
又直线AB的斜率k=

1 2 b2- 1 2 a2

b-a

=

1

2

（a+b）．
由圆切线的性质，有

1

2

（a+b）b=-1．②…（8分）
由①和②得b²（b²-8）=0．
显然b≠0，则b=±2

2

．…（9分）
所以存在题设的公共点B，其坐标为（±2

2

，4），公切线方程为y=2

2

（x-2

2

）+4或y=-2

2

（x+2

2

）+4，即y=±2

2

x-4．…（12分）