Question

4、不等式选讲
设x，y，z为正数，证明：2（x³+y³+z³）≥x²（y+z）+y²（x+z）+z²（x+y）．

Answer 1

分析：先将2（x³+y³+z³）分解成（x³+y³）+（z³+x³）+（y³+z³），再对每一组利用基本不等式进行放缩即得．

解答：证明：因为x²+y²≥2xy≥0（2分）
所以x³+y³=（x+y）（x²-xy+y²）≥xy（x+y）（4分）
同理y³+z³≥yz（y+z），z³+x³≥zx（z+x）（8分）
三式相加即可得2（x³+y³+z³）≥xy（x+y）+yz（y+z）+zx（z+x）
又因为xy（x+y）+yz（y+z）+zx（z+x）=x²（y+z）+y²（x+z）+z²（x+y）
所以2（x³+y³+z³）≥x²（y+z）+y²（x+z）+z²（x+y）

点评：本题主要考查不等式的证明，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、某些已经证明过的不等式及不等式的性质经过一系列的推理、论证等而推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法．