题目内容
已知,分别是椭圆的左、右焦点,关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为,.当最大时,求直线的方程.
(Ⅰ)圆的方程为;(Ⅱ)直线的方程是
解析试题分析:(Ⅰ)求圆的方程,圆的直径为,它的圆心为的中点关于直线的对称点,故本题先求出的长,从而得半径,的中点,只需求出它关于直线的对称点,求点关于线对称的方法为:两点连线垂直对称轴,两点的中点在对称轴上,这样求出圆心,从而可以写出圆的方程;(Ⅱ)设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为,.当最大时,求直线的方程,这是直线与二次曲线的位置关系问题,可采用设而不求的方法来解,设直线方程为:,设直线与椭圆相交与点利用弦长公式求出的值,根据圆的性质求出的值,从而得,可用基本不等式确定最大值时的的值,就得直线方程.
试题解析:(Ⅰ) 设圆和圆关于直线对称,由题意知圆的直径为所以圆心,半径,圆心与圆心关于直线对称,故圆的方程为;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知(2,0), 设直线方程为:,圆心到直线的距离,由垂径定理和勾股定理得:. 设直线与椭圆相交与点 由 得: 由韦达定理可得:依题意可知:
,令在 单调递增,在单调递减, 当时,取得最大值,此时直线的方程是,所以当取得最大值时,直线的方程是
考点:椭圆的方程、圆的方程、直线与椭圆的位置关系、直线的方程.
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