题目内容

定义在D={x∈R|x≠0}上的函数f（x）满足两个条件：①对于任意x、y∈D，都有f（x）f（y）-f（xy）= $数学公式$ ；②曲线y=f（x）存在与直线x+y+1=0平行的切线．
（Ⅰ）求过点（-1， $数学公式$ ）的曲线y=f（x）的切线的一般式方程；
（Ⅱ）当x∈（0，+∞），n∈N⁺时，求证：f_n（x）-f（xⁿ）≥2ⁿ-2．

解：（Ⅰ）令x=y=1得，f²（1）-f（1）=2，解得f（1）=-1或f（1）=2．
当f（1）=-1时，令y=1得，f（x）=- $\text{[math]}$ ，即f（x）=- $\text{[math]}$ （x+ $\text{[math]}$ ），
f′（x）=- $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ），
由f′（x）=-1得，x²=-1，此方程在D上无解，这说明曲线y=f（x）不存在与直线x+y+1=0平行的切线，不合题意，
则f（1）=2，此时，令y=1得，f（x）= $\text{[math]}$ =x+ $\text{[math]}$ ，f′（x）=1- $\text{[math]}$ ，
由f′（x）=-1得，x²= $\text{[math]}$ ，此方程在D上有解，符合题意．
设过点（-1， $\text{[math]}$ ）的切线切曲线y=f（x）于（x₀，x₀+ $\text{[math]}$ ），则切线的斜率为1- $\text{[math]}$ ，
其方程为y-x₀- $\text{[math]}$ =（1- $\text{[math]}$ ）（x-x₀），把点（-1， $\text{[math]}$ ）的坐标代入整理得，
5 $\text{[math]}$ -8x₀-4=0，解得x₀=- $\text{[math]}$ 或x₀=2，
把x₀=- $\text{[math]}$ 或x₀=2分别代入上述方程得所求的切线方程是：y=- $\text{[math]}$ x-5和y= $\text{[math]}$ x+1，
即21x+4y+20=0和3x-4y+4=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x+ $\text{[math]}$ ，当n∈N^*时，
fⁿ（x）-f（xⁿ）= $\text{[math]}$ -（xⁿ+ $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ x^n-1• $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ x^n-2• $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ x²• $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ x• $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ x^n-2+ $\text{[math]}$ x^n-4+…+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
由x∈（0，+∞），n∈N^*知，xⁿ∈（0，+∞），那么
2（fⁿ（x）-f（xⁿ））= $\text{[math]}$ x^n-2+ $\text{[math]}$ x^n-4+…+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ x^n-4+ $\text{[math]}$ x^n-2
= $\text{[math]}$ x^n-2+ $\text{[math]}$ x^n-4+…+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ x^n-4+ $\text{[math]}$ x^n-2
= $\text{[math]}$ （x^n-2+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ （x^n-4+ $\text{[math]}$ ）+…+ $\text{[math]}$ （x^n-2+ $\text{[math]}$ ）
≥2 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ +…+2 $\text{[math]}$ ）
=2（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）
=2[（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）]
=2（2ⁿ-2）
所以fⁿ（x）-f（xⁿ）≥2ⁿ-2．
分析：（Ⅰ）令x=y=1，可求得f（1）=2，从而可求得f（x）=x+ $\text{[math]}$ ，设过点（-1， $\text{[math]}$ ）的切线切曲线y=f（x）于（x₀，x₀+ $\text{[math]}$ ），则切线的斜率为1- $\text{[math]}$ ，于是可求得切线方程，将点（-1， $\text{[math]}$ ）的坐标代入方程即可求得x₀，从而可得过点（-1， $\text{[math]}$ ）的曲线y=f（x）的切线的一般式方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x+ $\text{[math]}$ ，当n∈N^*时，fⁿ（x）-f（xⁿ）= $\text{[math]}$ -（xⁿ+ $\text{[math]}$ ），利用二项式定理将 $\text{[math]}$ 展开，采用倒序相加法可求得2（fⁿ（x）-f（xⁿ）），再利用基本不等式即可证得结论．
点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查不等式的证明，突出二项式定理及倒序相加法与基本不等式的综合运用，属于难题．