Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，前n项和S_n，若Sn=n2an，则a_n=（　　）

• A．

  2

  n

• B．

  4

  n+1

• C．

  2

  n(n+1)

• D．

  4

  n(n+1)

Answer 1

分析：由题意可知na_n-1=（n-2）a_n-2，（n-1）a_n-2=（n-3）a_n-3，…，5a₄=3a₃，4a₃=2a₂，3a₂=a₁，两边相乘，得n（n+1）a_n=2a₁，由此能够求出an．

解答：解：∵Sn=n2an，
∴当n≥2时Sn-1=(n-1) 2•an-1，
∴S_n-S_n-1=n²a_n-（n-1）²a_n-1=a_n
（n²-1）a_n=（n-1）²a_n-1，（n+1）a_n=（n-1）a_n-1，
∴na_n-1=（n-2）a_n-2，
（n-1）a_n-2=（n-3）a_n-3，
…
5a₄=3a₃，
4a₃=2a₂，
3a₂=a₁，
两边相乘：
3×4×5×…×（n-1）n（n+1）a_n=1×2×3×…×（n-3）（n-2）（n-1）a₁
n（n+1）a_n=2a₁，
∴a_n=

2a1

n(n+1)

=

4

n(n+1)

．
故选D．

点评：本题考查数列递推式的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．