Question

选修4-5：不等式选讲已知x，y，z为实数，且x+2y+3z=

7

，
（Ⅰ）求x²+y²+z²的最小值；
（Ⅱ）设|2t-1|=x²+y²+z²，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用题中条件：“x+2y+3z=

7

”构造柯西不等式（1²+2²+3²）（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+3•z）²这个条件进行计算即可．
（II）由（Ⅰ）得|2t-1|≥

1

2

，解此绝对值不等式即可得到实数t的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由柯西不等式（1²+2²+3²）（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+3•z）²
得14(x2+y2+z2)≥(

7

)2=7，所以x2+y2+z2≥

1

2

，
当且仅当|x|=

1

2

|y|=

1

3

|z|时取等号，即x²+y²+z²的最小值为

1

2

…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得|2t-1|≥

1

2

，则2t-1≥

1

2

或2t-1≤-

1

2

，解得t≥

3

4

或t≤

1

4

，
即实数t的取值范围是(-∞，

1

4

]∪[

3

4

，+∞)…（7分）

点评：本题考查用综合法证明不等式，关键是利用：（1²+2²+3²）（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+3•z）²这个不等关系，还考查了绝对值不等式的解法．