题目内容

已知 $数学公式$ =（1，2sinx）， $数学公式$ =（2cos（x+ $数学公式$ ），1），函数f（x）= $数学公式$ • $数学公式$ （x∈R）
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）= $数学公式$ ，求cos（2x- $数学公式$ ）的值．

解：（1）f（x）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =2cos（x+ $\text{[math]}$ ）+2sinx
=2cosxcos $\text{[math]}$ -2sinxsin $\text{[math]}$ +2sinx
= $\text{[math]}$ cosx-sinx+2sinx
= $\text{[math]}$ cosx+sinx=2（ $\text{[math]}$ cosx+ $\text{[math]}$ sinx）
=2sin（x+ $\text{[math]}$ ）
由 $\text{[math]}$ +2kπ≤x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ +2kπ得： $\text{[math]}$ +2kπ≤x≤ $\text{[math]}$ +2kπ，
所以f（x）的单调递增区间是[ $\text{[math]}$ +2kπ， $\text{[math]}$ +2kπ]（k∈Z）；
（2）由（1）知f（x）=2sin（x+ $\text{[math]}$ ），
又因为2sin（x+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，所以sin（x+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
即sin（x+ $\text{[math]}$ ）=cos（ $\text{[math]}$ -x）=cos（x- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
所以cos（2x- $\text{[math]}$ ）=2cos²（x- $\text{[math]}$ ）-1= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据平面向量的数量积的运算法则，计算出 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，然后利用两角和的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，合并后，提取2，再利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，确定出f（x）的解析式，由正弦函数的递减区间[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的取值范围，即为函数f（x）的单调递减区间；
（2）由（1）中求出的f（x）的解析式，令f（x）= $\text{[math]}$ ，即可求出sin（x+ $\text{[math]}$ ）的值，利用诱导公式求出cos（x- $\text{[math]}$ ）的值，然后利用二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简，把求出的cos（x- $\text{[math]}$ ）的值代入即可求出值．
点评：此题考查了平面向量的数量积的运算法则，正弦函数的单调性，以及三角函数的恒等变形．要求学生掌握两角和与差的正弦、余弦函数公式，诱导公式及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握这些公式是解本题的关键．