Question

若z∈C，arg（z²-4）=

5π

6

，arg（z²+4）=

π

3

，则z的值是

±（1+

3

i）

．

Answer 1

分析：设z=x+yi（x、y∈R），算出z²-4=（x²-y²-4）+2xyi，z²+4=（x²-y²+4）+2xyi．根据复数辐角主值的定义，得关于x、y的方程组，解得x、y的值，即得z=1+

3

i或z=-1-

3

i．

解答：解：设z=x+yi（x、y∈R），则z²=（x+yi）²=（x²-y²）+2xyi
∴z²-4=（x²-y²-4）+2xyi，z²+4=（x²-y²+4）+2xyi，
∵arg（z²-4）=

5π

6

，arg（z²+4）=

π

3

，
∴tan

5π

6

=

2xy

x2-y2-4

=-

3

3

…①，tan

π

3

=

2xy

x2-y2+4

=

3

…②．
联解①②，得

x=1 y= 3

或

x=-1 y=- 3

，所以z=1+

3

i或z=-1-

3

i
故答案为：±（1+

3

i）

点评：本题给出复数z²-4、z²+4的辐角主值，求复数z的值，着重考查了复数的四则运算和辐角的定义等知识，属于基础题．