题目内容

已知函数f(x)=
x2+ax,x≤1
ax2+x,x>1
则“a≤-2”是“f(x)在R上单调递减”的(  )
分析:利用分段函数a的范围判断函数的单调性,利用函数的单调性求出a的范围,然后利用充要条件判断方法判断即可.
解答:解:函数f(x)=
x2+ax,x≤1
ax2+x,x>1

当“a≤-2”时f(x)=x2+ax,x≤1是减函数,f(x)=ax2+x也是减函数,所以函数是单调减函数;
函数是减函数,则函数的对称轴满足:
-
a
2
≥1
-
1
2a
<1
⇒a≤2.
所以函数f(x)=
x2+ax,x≤1
ax2+x,x>1
则“a≤-2”是“f(x)在R上单调递减”的充要条件.
故选C.
点评:本题考查函数的单调性与函数的对称轴的应用,充要条件的判断.
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