题目内容
下列数字所示的三角形数阵，满足：
（1）第一行的数为1；
（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加，则第n+1行中第2个数是________（用n表示）．
1
2 2
3 4 3
4 7 7 4
5 11 14 11 5
6 16 25 25 16 6
…
解：设第一行的第二个数为a1=1，
由此可得上一行第二个数与下一行第二个数满足等式an+1=an+n，
即a2-a1=1，a3-a2=2，a4-a3=3，…an-1-an-2=n-2，an-an-1=n-1，an+1-an=n，
∴an+1=（an+1-an）+（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a4-a3）+（a3-a2）+（a2-a1）+a1
=n+（n-1）+（n-2）+…+3+2+1+1=
+1=
故答案为
分析：先找到上一行第二个数与下一行第二个数满足等式关系，然后由数列求通项的方法求出第n+1项即可．
点评：本题考查数列的递推关系，其解题关键在于找到相邻项的递推公式，属于中档难度的题型．
由此可得上一行第二个数与下一行第二个数满足等式an+1=an+n，
即a2-a1=1，a3-a2=2，a4-a3=3，…an-1-an-2=n-2，an-an-1=n-1，an+1-an=n，
∴an+1=（an+1-an）+（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a4-a3）+（a3-a2）+（a2-a1）+a1
=n+（n-1）+（n-2）+…+3+2+1+1=
+1=故答案为
分析：先找到上一行第二个数与下一行第二个数满足等式关系，然后由数列求通项的方法求出第n+1项即可．
点评：本题考查数列的递推关系，其解题关键在于找到相邻项的递推公式，属于中档难度的题型．
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