Question

下列数字所示的三角形数阵，满足：
（1）第一行的数为1；                                                      
（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加，则第n+1行中第2个数是

n2+n+2

2

（用n表示）． 

1                 
2     2
3     4     3
4     7      7    4
5     11    14    11   5
6     16    25    25   16   6
…

Answer 1

分析：先找到上一行第二个数与下一行第二个数满足等式关系，然后由数列求通项的方法求出第n+1项即可．

解答：解：设第一行的第二个数为a₁=1，
由此可得上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a_n+1=a_n+n，
即a₂-a₁=1，a₃-a₂=2，a₄-a₃=3，…a_n-1-a_n-2=n-2，a_n-a_n-1=n-1，a_n+1-a_n=n，
∴a_n+1=（a_n+1-a_n）+（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₄-a₃）+（a₃-a₂）+（a₂-a₁）+a₁
=n+（n-1）+（n-2）+…+3+2+1+1=

n(n+1)

2

+1=

n2+n+2

2

故答案为

n2+n+2

2

点评：本题考查数列的递推关系，其解题关键在于找到相邻项的递推公式，属于中档难度的题型．