题目内容
【题目】已知数列的前项和为,,数列满足,点在直线上.
(1)求数列,的通项公式,;
(2)令,求数列的前项和;
(3)若,对所有的正整数都有成立,求的取值范围.
【答案】(1),;(2);(3)
【解析】
(1)先根据和项与通项关系求数列的通项公式,再根据等差数列定义以及通项公式求的通项公式;
(2)根据错位相减法求数列的前项和;
(3)先根据作差法判定数列为单调递减数列,再根据不等式恒成立转化为,最后利用变量分离法求的取值范围.
(1)∵,∴,即,
当时,,
∴,
∴,
∴是首项为,公比为2的等比数列,因此,,
因为在直线上,所以,
而,所以.
(2)∵,
∴③
因此④
③-④得:
,
∴.
(3)由(1)知,,
∵,
∴数列为单调递减数列;
∴当时,.即的最大值为1.
由可得,,
而当时,当且仅当时取等号,
∴.
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