Question

已知向量

OP

=(2cosx+1，cos2x-sinx+1)，

OQ

=(cosx，-1)，定义f(x)=

OP

•

OQ

（1）求出的解析式．当时，它可以表示一个振动量，请指出其振幅，相位及初相．
（2）f（x）的图象可由y=sinx的图象怎样变化得到？
（3）设x∈[-

7π

4

，-

3π

4

]时f（x）的反函数为f^-1（x），求f-1(

1

2

)的值．

Answer 1

分析：（1）通过向量的数量积、二倍角公式两角和的正弦函数、化简函数为一个角的一个三角函数的形式，即可求出其振幅，相位及初相．
（2）利用左加右减的原则，通过左右平移，伸缩变换即可由y=sinx的图象得到f（x）的图象；
（3）求出f（x）的反函数为f^-1（x）的表达式，即可通过x∈[-

7π

4

，-

3π

4

]，求出f-1(

1

2

)的值．

解答：解：（1）f(x)=

OP

•

OQ

=（2cosx+1，cos2x-sinx+1）•（cosx，-1）
=2cos²x+cosx-cos2x+sinx-1
=sinx+cosx
=

2

sin（x+

π

4

）．
其振幅为

2

，相位为x+

π

4

，初相为

π

4

，
（2）可由y=sinx图象横坐标不变，纵坐标伸长到原来的

2

倍，
再把曲线上的所有点向左平移

π

4

单位，
就得到y=

2

sin(x+

π

4

)的图象．
（3）不妨设f^-1（

1

2

）=t，t∈[-

7π

4

，-

3π

4

]，
则f（t）=

1

2

，即

2

sin (t+

π

4

) =

1

2

∴sin (t+

π

4

) =

2

4

∵-

7π

4

≤t≤-

3π

4

∴-

3π

2

≤t+

π

4

≤-

π

2

，
∴t+

π

4

=-π-arcsin

2

4

，
∴t=-

5

4

π-arcsin

2

4

即f^-1（

1

2

）=-

5

4

π-arcsin

2

4

．

点评：本题是中档题，考查向量的数量积的应用，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，转化思想．