题目内容

(08年黄冈中学三模文)(本小题满分13分)设的极小值为,其导函数的图像是经过点开口向上的抛物线,如图所示.

(Ⅰ)求的解析式;

(Ⅱ)若,且过点(1,m)可作曲线的三条切线,求实数的取值范围.

 

解析:(Ⅰ),且的图像经过点,

,            ∴,……(3分)

由导函数图像可知函数上单调递增,在上单调递减,

上单调递增, 

,解得 . ∴.        ……(6分)

(Ⅱ)设切点为(x0, y0),由题设知x0≠1,则切线斜率可表示为,所以,又,即

要有三条切线,则上述关于x0的方程应有三个不同的实数根. ……(9分)

,则要x轴有三个交点(且交点坐标),

的极大值与极小值的乘积小于零,由 或

且当;当时,

x0=0, x0=1处分别取得极大值+3和极小值+2.

,(此时显然有x0=1不可能是方程的根)

m的取值范围是(-3,-2).               ……(13分)

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