Question

（1）不等式ax²+4x+a＞1-2x²对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围
（2）已知f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=ax+2lnx，（a∈R），求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）不等式ax²+4x+a＞1-2x²对一切x∈R恒成立?（2+a）x²+4x+a-1＞0对一切x∈R恒成立，当2+a=0时，容易验证是否成立；当2+a≠0时，必须满足

2+a＞0 △=16-4(2+a)(a-1)＜0

，解得a即可；
（2）设x＜0，则-x＞0，而函数f（x）是奇函数，可得f（x）=-f（-x）即可．

解答：解：（1）不等式ax²+4x+a＞1-2x²对一切x∈R恒成立?（2+a）x²+4x+a-1＞0对一切x∈R恒成立，
当2+a=0时，化为4x-3＞0对一切x∈R不恒成立，应舍去．
当2+a≠0时，必须满足

2+a＞0 △=16-4(2+a)(a-1)＜0

，解得a＞2或a＜-3．
综上可知：实数a的取值范围是（-∞，-3）∪（2，+∞）．
（2）设x＜0，则-x＞0，而函数f（x）是奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-[-ax+2ln（-x）]=ax-2ln（-x）．
∴f(x)=

ax+2lnx，x＞0 ax-2ln(-x)，x＜0

．

点评：熟练掌握二次函数的性质、函数的奇偶性等是解题的关键．