Question

（2012•朝阳区一模）已知各项均为非负整数的数列A₀：a₀，a₁，…，a_n（n∈N^*），满足a₀=0，a₁+…+a_n=n．若存在最小的正整数k，使得a_k=k（k≥1），则可定义变换T，变换T将数列A₀变为T（A₀）：a₀+1，a₁+1，…，a_k-1+1，0，a_k+1，…，a_n．设A_i+1=T（A_i），i=0，1，2…．
（Ⅰ）若数列A₀：0，1，1，3，0，0，试写出数列A₅；若数列A₄：4，0，0，0，0，试写出数列A₀；
（Ⅱ）证明存在数列A₀，经过有限次T变换，可将数列A₀变为数列n，

0，0，…，0

n个

；
（Ⅲ）若数列A₀经过有限次T变换，可变为数列n，

0，0，…，0

n个

．设S_m=a_m+a_m+1+…+a_n，m=1，2，…，n，求证am=Sm-[

Sm

m+1

](m+1)，其中[

Sm

m+1

]表示不超过

Sm

m+1

的最大整数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据新定义，首项分别取1，2，3，4，5，从而可写出其余各项；
（Ⅱ）若数列A₀：a₀，a₁，…，a_n满足a_k=0及a_i＞0（0≤i≤k-1），则定义变换T^-1，变换T^-1将数列A₀变为数列T^-1（A₀）：a₀-1，a₁-1，…，a_k-1-1，k，a_k+1，…，a_n．可验证数列A₀满足条件；
（Ⅲ）显然a_i≤i（i=1，2，…，n），由变换T的定义可知数列A₀每经过一次变换，S_k的值或者不变，或者减少k，由于数列A₀经有限次变换T，变为数列n，0，…，0时，有S_m=0，m=1，2，…，n，从而可得S_m=a_m+S_m+1=a_m+（m+1）t_m+1，0≤a_m≤m，由此可得结论．

解答：（Ⅰ）解：若A₀：0，1，1，3，0，0，则A₁：1，0，1，3，0，0；A₂：2，1，2，0，0，0； A₃：3，0，2，0，0，0；A₄：4，1，0，0，0，0； A₅：5，0，0，0，0，0．
若A₄：4，0，0，0，0，则 A₃：3，1，0，0，0； A₂：2，0，2，0，0； A₁：1，1，2，0，0； A₀：0，0，1，3，0．．…．…（4分）
（Ⅱ）证明：若数列A₀：a₀，a₁，…，a_n满足a_k=0及a_i＞0（0≤i≤k-1），则定义变换T^-1，变换T^-1将数列A₀变为数列T^-1（A₀）：a₀-1，a₁-1，…，a_k-1-1，k，a_k+1，…，a_n．可得T^-1和T是互逆变换．
对于数列n，0，0，…，0连续实施变换T^-1（一直不能再作T^-1变换为止）得n，0，0，…，0

T-1

n-1，1，0，…，0

T-1

n-2，0，2，0，…，0

T-1

n-3，1，2，0，…，0

T-1

…

T-1

a₀，a₁，…，a_n，
则必有a₀=0（若a₀≠0，则还可作变换T^-1）．
反过来对a₀，a₁，…，a_n作有限次变换T，即可还原为数列n，0，0，…，0，因此存在数列A₀满足条件．…（8分）
（Ⅲ）证明：显然a_i≤i（i=1，2，…，n），这是由于若对某个i₀，ai0＞i0，则由变换的定义可知，ai0通过变换，不能变为0．
由变换T的定义可知数列A₀每经过一次变换，S_k的值或者不变，或者减少k，由于数列A₀经有限次变换T，变为数列n，0，…，0时，有S_m=0，m=1，2，…，n，
所以S_m=mt_m（t_m为整数），于是S_m=a_m+S_m+1=a_m+（m+1）t_m+1，0≤a_m≤m，
所以a_m为S_m除以m+1后所得的余数，即am=Sm-[

Sm

m+1

](m+1)．…（13分）

点评：本题考查新定义，考查学生接受新概念的能力，考查学生分析解决问题的能力，综合性强，难度较大．