题目内容

下面四个命题：①命题“?x∈R，x2-x＞0”的否定是“?x∈R，x2-x≤0”；
②把函数y=3sin（2x+
π
3
）的图象向右平移
π
3
个单位，得到y=3sin2x的图象；
③函数f（x）=ax2-lnx的图象在x=1处的切线平行于直线y=x，则（
2
2
，+∞）是f（x）的单调递增区间；
④正方体的内切球与其外接球的表面积之比为1：3；
其中所有正确命题的序号为
①③④
①③④
．
分析：根据含有量词的命题的否定的方法，得到①正确；根据函数图象平移的规律，得到②错误；根据导数的几何意义，结合利用导数判断函数单调性的方法，得到③正确；根据正方体的结构特征，结合球的表面积公式，得到④正确．
解答：解：对于①，它是一个含有量词的命题
“?x∈R，x2-x＞0”即“存在x∈R，使得x2-x＞0成立”，其否定应该是不存在满足条件的x．
也就是说，对于任意的x∈R，都有x2-x≤0，即“?x∈R，x2-x≤0”，故①正确；
对于②，设F（x）=3sin（2x+
π
3
），图象向右平移
π
3
个单位，应该得到F（x-
π
3
）=3sin（2x-
π
3
），
而不是y=3sin2x的图象，故②错误；
对于③，若函数f（x）=ax2-lnx的图象在x=1处的切线平行于直线y=x，
说明f′（1）=1，而f/(x)=2ax-
1
x

所以2a-1=1，得a=1，函数表达式为f（x）=x2-lnx
∴f/(x)=2x-
1
x
=
2x2-1
x
，当x∈（
2
2
，+∞），f′（x）＞0，函数为增函数，故③正确；
对于④，设正方体的棱长为a，则它的内切球半径为
a
2
，表面积为4π•(
a
2
)2=4πa2，
而正方体的外接球半径为
3
2
a，可得外接球的表面积为4π•(
3
a
2
)2=12πa2
∴内切球与其外接球的表面积之比为1：3，故④正确
故答案为：①③④
点评：本题综合了含有量词的命题的否定、导数的几何意义、运用导数判断函数的单调性和球的内接外切等知识点，考查了命题真假的判断，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
给出下面四个命题：
①m=3是直线（m+3）x+my-2=0与直线mx-6y+5=0互相垂直的充要条件；
②m，n是平面α内的两条直线，直线l在平面α外，则l⊥α是l⊥m且l⊥n的充分不必要条件；
③函数a=b=0是f（x）=x2+b|x-a|为偶函数的必要非充分条件；
④b=
ac
是a，b，c三个数成等比数列的既不充分又非必要条件；
其中真命题的序号是
 
．（写出所有真命题的序号）
（2012•临沂二模）下面四个命题：
①函数y=loga（x+1）+1（a＞0且a≠1）的图象必经过定点（0，1）；
②已知命题p：?x∈R，sinx≤1，则￢p：?x∈R，sinx≤1；
③过点（-1，2）且与直线2x-3y+4=0垂直的直线方程为3x+2y-1=0；
④在区间（-2，2）上随机抽取一个数x，则ex＞1的概率为
13
．
其中所有正确命题的序号是：
①③
①③
．

给出下面四个命题：

①m＝3是直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直的充要条件；

②b＝是a，b，c三个数成等比数列的既不充分又非必要条件；

③p、q为简单命题，则“p且q为假命题”是“p或q为假命题”的必要不充分条件；

④两个向量相等是这两个向量共线的充分非必要条件．

其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)
给出下面四个命题：
①m=3是直线（m+3）x+my-2=0与直线mx-6y+5=0互相垂直的充要条件；
②b=是a，b，c三个数成等比数列的既不充分又非必要条件；
③p、q为简单命题，则“p且q为假命题”是“p或q为假命题”的必要不充分条件；
④两个向量相等是这两个向量共线的充分非必要条件．
其中真命题的序号是    （写出所有真命题的序号）．
给出下面四个命题：
①m=3是直线（m+3）x+my-2=0与直线mx-6y+5=0互相垂直的充要条件；
②b=是a，b，c三个数成等比数列的既不充分又非必要条件；
③p、q为简单命题，则“p且q为假命题”是“p或q为假命题”的必要不充分条件；
④两个向量相等是这两个向量共线的充分非必要条件．
其中真命题的序号是    （写出所有真命题的序号）．

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