Question

已知递增等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂和a₄的等差中项，
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=anlog

1

2

an，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞62成立的正整数n的最小值．

Answer 1

分析：（I）由题意，得

a1q+a1q2+a1q3=28 a1q+a1q3=2(a1q2+2)

，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）bn=anlog

1

2

an=2n•log

1

2

2n=-n•2n，S_n=b₁+b₂+…+b_n=-（1×2+2×2²+…+n×2ⁿ），所以数列{b_n}的前项和S_n=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞62成立的正整数n的最小值．

解答：解：（I）由题意，得

a1q+a1q2+a1q3=28 a1q+a1q3=2(a1q2+2)

，…（2分）
解得

a1=2 q=2

或

a1=32 q= 1 2

…（4分）
由于{a_n}是递增数列，所以a₁=2，q=2
即数列{a_n}的通项公式为a_n=2•2^n-1=2ⁿ…（6分）
（Ⅱ）bn=anlog

1

2

an=2n•log

1

2

2n=-n•2n…（8分）
S_n=b₁+b₂+…+b_n=-（1×2+2×2²+…+n×2ⁿ）①
则2S_n=-（1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹）②
②-①，得S_n=（2+2²+…+2ⁿ）-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹
即数列{b_n}的前项和S_n=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹…（10分）
则S_n+n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2＞62，所以n＞5，
即n的最小值为6．…（12分）

点评：本题考查数列的性质的应用，解题时要认真审题，注意数列与不等式的综合运用，合理地进行等价转化．