题目内容
已知如图,直线


(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)当p=2时,曲线C上存在不同的两点关于直线y=kx+3对称,求实数k满足的条件(写出关系式即可);
(3)设动点M (a,0),过M且斜率为1的直线与轨迹C交于不同的两点A,B,线段AB的中垂线与x轴交于点N,当|AB|≤2p时,求△NAB面积的最大值.
【答案】分析:(1)先设出点P坐标,得到点Q坐标,再代入
整理即可得到动点P的轨迹C的方程;
(2)先假设存在,设出对称点A(x1,y1),B(x2,y2)以及直线AB所在直线方程为x+ky+n=0,联立直线方程与抛物线方程,再结合AB中点M在直线y=kx+3上即可得到实数k满足的条件.
(3)先联立直线方程与抛物线方程,得到点A,B的坐标与a的关系并表示出线段AB的长,结合|AB|≤2p,求出a的范围;再求出线段AB的中垂线得到点N的坐标,写出△NAB面积的表达式,结合函数的单调性即可求解.
解答:解:(1)设点P坐标为P(x,y),则点Q坐标为Q(
则
(2分)
由
.得:y2=2px(p>0)(4分)
(2)p=2时,y2=4x.
设曲线C上关于直线y=kx+3对称点为A(x1,y1),B(x2,y2),
则直线AB所在直线方程为x+ky+n=0,(n为常数).
代入y2=4x得y2+4ky+4n=0
△=(4k)2-16n>0即k2-n>0(3分)
又∵AB中点M在直线y=kx+3上,
则(2k2-n,-2k)代入y=kx+3得-2k=2k3-nk+3(5分)
∴
即
. (6分)
(3)联立
⇒y2-2px-2pa=0,
∵△=4p2+8pa>0⇒
(1分)
∴
∴
∴
. (2分)
AB中垂线y-p=-(x-a-p),即y=-x+a+2p
令y=0,x=a+2p
∴
(3分)
∴
(4分)
在
单调递增 (5分)
当
时,
. (6分)
点评:本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系以及弦长公式的应用.解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时,常联立直线方程与圆锥曲线方程,再结合韦达定理,判别式等得结论.

(2)先假设存在,设出对称点A(x1,y1),B(x2,y2)以及直线AB所在直线方程为x+ky+n=0,联立直线方程与抛物线方程,再结合AB中点M在直线y=kx+3上即可得到实数k满足的条件.
(3)先联立直线方程与抛物线方程,得到点A,B的坐标与a的关系并表示出线段AB的长,结合|AB|≤2p,求出a的范围;再求出线段AB的中垂线得到点N的坐标,写出△NAB面积的表达式,结合函数的单调性即可求解.
解答:解:(1)设点P坐标为P(x,y),则点Q坐标为Q(

则

由

(2)p=2时,y2=4x.
设曲线C上关于直线y=kx+3对称点为A(x1,y1),B(x2,y2),
则直线AB所在直线方程为x+ky+n=0,(n为常数).
代入y2=4x得y2+4ky+4n=0
△=(4k)2-16n>0即k2-n>0(3分)
又∵AB中点M在直线y=kx+3上,
则(2k2-n,-2k)代入y=kx+3得-2k=2k3-nk+3(5分)
∴

即

(3)联立

∵△=4p2+8pa>0⇒

∴

∴

∴

AB中垂线y-p=-(x-a-p),即y=-x+a+2p
令y=0,x=a+2p
∴

∴

在

当


点评:本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系以及弦长公式的应用.解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时,常联立直线方程与圆锥曲线方程,再结合韦达定理,判别式等得结论.

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