Question

关于函数f(x)=lg

x

x2+1

，有下列结论：①定义域是（0，+∞）；②是奇函数；③最大值为-lg2；④0＜x＜1时单增，x＞1时单减．其中正确结论的序号是

①③④

．

Answer 1

分析：①根据对数函数的真数大于0，建立关系式解之验证定义域即可；②函数f（x）是奇函数，利用奇函数的定义进行判断；③函数f（x）的最大值为-lg2，利用基本不等式与对数的运算性质求出最值；④求出导数，解出单调区间，验证即可．

解答：解：①函数f（x）的定义域是（0，+∞），令

x

x2+1

＞0，解得x＞0，故定义域是（0，+∞），命题正确；
②函数f（x）是奇函数，由①知，定义域不关于原点对称，故不是奇函数，命题不正确；
③函数f（x）的最大值为-lg2，因为f(x)=lg

x

x2+1

=lg

1

x+ 1 x

≤lg

1

2

=-lg2，最大值是-lg2，故命题正确；
④当0＜x＜1时，函数f（x）是增函数；当x＞1时，函数f（x）是减函数，命题正确，因为f′(x)=lg

1-x2

(x2+1)2

，令导数大于0，可解得0＜x＜1，令导数大于0，得x＞1，故命题正确．
综上，①③④正确
故答案为：①③④

点评：本题主要考查了函数定义域、最值、单调性和奇偶性，同时考查了推理论证的能力以及计算论证的能力，属于中档题．