Question

已知椭圆C₁、抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

x	3	-2	4
y	-2		-4

（Ⅰ）求C₁、C₂的标准方程；
（Ⅱ）请问是否存在直线l满足条件：①过C₂的焦点F；②与C₁交不同两点M、N且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设抛物线C₂：y²=2px（p≠0），则有，据此验证4个点知（3，-2）、（4，-4）在抛物线上，易求C₂：y²=4x，设C₁：，把点（-2，0）（）代入得：，由此能够求出C₁方程．
（Ⅱ）容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），
设其方程为y=k（x-1），与C₁的交点坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由消掉y，得（1+4k²）x²-8k²x+4（k²-1）=0，再由韦达定理能够导出存在直线l满足条件，且l的方程为：y=2x-2或y=-2x+2．
解答：解：（Ⅰ）设抛物线C₂：y²=2px（p≠0），则有，据此验证4个点知（3，-2）、（4，-4）在抛物线上，易求C₂：y²=4x（2分）
设C₁：，把点（-2，0）（）代入得：
解得
∴C₁方程为（5分）
（Ⅱ）容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；（6分）
当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），
设其方程为y=k（x-1），与C₁的交点坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由消掉y，得（1+4k²）x²-8k²x+4（k²-1）=0，（8分）
于是，①
y₁y₂=k（x₁-1）×k（x₁-1）=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]
即②（10分）
由，即，得x₁x₂+y₁y₂=0（*），
将①、②代入（*）式，得，解得k=±2；（11分）
所以存在直线l满足条件，且l的方程为：y=2x-2或y=-2x+2．（12分）．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．