题目内容

已知点A(0,
2
n
),B(0,-
2
n
),C(4+
2
n
,0)
,其中n的为正整数.设Sn表示△ABC外接圆的面积,则
lim
n→∞
Sn
=
 
分析:由三角形的对称性,先找出其外接圆圆心在X轴上,再求出半径,进而求出面积及其极限值.
解答:解:由题意可知外接圆圆心在X轴上,可设为O(a,0),则OA=OC,即OA2=OC2
a2+(- 
2
n
)
2
[a-(4+
2
n
)]
2

解得a=
4n+4
2n+1

∴O为(
4n+4
2n+1
,0)

∴圆O的半径为OA=4+
2
n
-
4n+4
2n+1
=
4n2+4n+2
n(2n+1)

∴其外接圆的面积Sn=π• [
4n2+4n+2
2n2+n
]2
π•[
4+
2
n
+
2
n2
2+
1
n
]2

lim
n→∞
Sn
=4π.
故答案是4π.
点评:本题的解答过程中,注意到先根据三角形的对称性找出外接圆圆心坐标,再进一步求解.
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