Question

椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F₁、F₂，短轴两端点B₁、B₂，已知F₁、F₂、B₁、B₂四点共圆，且点（0，3）到椭圆上的点的最远距离为，则此椭圆的方程是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：由F₁、F₂、B₁、B₂四点共圆，得出b=c，进而得到a²=b²+c²=2b²，再设椭圆的方程（含参数b），设H（x，y）为椭圆上一点，化简点（0，3）到椭圆上的点的距离，利用其最大值，分类讨论求出参数b的值，即得椭圆的方程．
解答：∵F₁、F₂、B₁、B₂四点共圆，∴b=c，
∴a²=b²+c²=2b²，
设椭圆的方程为，N（0，3），
设H（x，y）为椭圆上一点，则|HN|²=x²+（y-3）²=-（y+3）²+2b²+18，（-b≤y≤b），
①若0＜b＜3，|HN|²的最大值b²+6b+9=50得 （舍去），
②若b≥3，|HN|²的最大值2b²+18=50得b²=16，
∴所求的椭圆的方程为：．
故选A．
点评：本题考查椭圆的性质及其应用、函数最值的求法等，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．