Question

如图，在正比例函数y=kx（k＞0）图象上有一列点P₁，P₂，P₃，P₄，…，P_n，…．已知n≥2时，

Pn-1Pn+1

=n

Pn P   n+1

．设线段P₁P₂，P₂P₃，P₃P₄，…，P_nP_n+1的长分别为a₁，a₂，a₃，…，a_n，且a₁=1．
（1）求出a₂，a₃的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设点M_n（n，a_n）（n≥2，n∈N），证明：这些点中不可能同时有两个点在正比例函数y=kx（k＞0）的图象上．

Answer 1

分析：（1）由题设条件结合向量和的运算，知| 

Pn-1Pn

 |=(n-1)| 

Pn P   n+1

 |，从而得出数列{a_n}的递推关系式，即可得出a₂，a₃的值；
（2）将（1）中的a₁=（2-1）a₂，a₂=（3-1）a₃，a₃=（4-1）a₄．…，a_n=na_n+1等关系式相乘即可得数列{a_n}的通项公式；
（3）对于结论是否定形式的命题，往往反证法证明．

解答：解：（1）由

Pn-1Pn+1

=n

Pn P   n+1

得

Pn-1Pn

+

PnPn+1

=n

Pn P   n+1

，
∴

Pn-1Pn

=(n-1)

Pn P   n+1

∴| 

Pn-1Pn

 |=(n-1)| 

Pn P   n+1

 |，
即a₁=（2-1）a₂，a₂=（3-1）a₃，a₃=（4-1）a₄．…，a_n=na_n+1
∴a₂=1，a₃=

1

2

（2）将（1）中的a₁=（2-1）a₂，a₂=（3-1）a₃，a₃=（4-1）a₄．…，
a_n=na_n+1等关系式相乘得a₁=1•2•3•4•…•n•a_n+1，
即an+1=

1

1•2•3•…•n

∴an=

1

1•2•3•…•(n-1)

（3）设点M_m（m，a_m），N_n（n，a_n）（m≠n）在正比例函数y=kx（k＞0），
则a_m=km，a_n=kn，即km=

1

1•2•3•…•(m-1)

，kn=

1

1•2•3•…•(n-1)

∴k=

1

1•2•3•…•m

，k=

1

1•2•3•…•n

，从而1•2•3•…•m=1•2•3•…•n
这与m≠n矛盾，故不可能同时有两个点在正比例函数y=kx（k＞0）的图象上．

点评：本题考查数列现解析几何的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地应用反证法．