Question

已知圆上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足.

   （I）求点G的轨迹C的方程；

   （II）过点（2，0）作直线，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设 是否存在这样的直线，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）点G的轨迹方程是

（Ⅱ）存在直线

解析:

（1）Q为PN的中点且GQ⊥PN

         GQ为PN的中垂线|PG|=|GN| 

         ∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长，半焦距，∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是 ………5分

   （2）因为，所以四边形OASB为平行四边形

         若存在l使得||=||，则四边形OASB为矩形

         若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由

         矛盾，故l的斜率存在. ………7分

         设l的方程为

        

            ①

        

            ②   ……………9分     

         把①、②代入

         ∴存在直线使得四边形OASB的对角线相等.