Question

（12分）已知圆上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足.  

（1）求点G的轨迹C的方程；   

（2）过点（2，0）作直线，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设 是否存在这样的直线，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.

Answer 1

解析：（1）Q为PN的中点且GQ⊥PN

       GQ为PN的中垂线|PG|=|GN|                                      …………2分

       ∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长，半焦距，∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是……4分

   （2）因为，所以四边形OASB为平行四边形

       若存在l使得||=||，则四边形OASB为矩形

       若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由

       矛盾，故l的斜率存在.    …………6分

       设l的方程为

      

          ①

          ②                       …………10分

       把①、②代入∴存在直线使得四边形OASB的对角线相等.  …12分