给出的四个命题:①存在实数φ.使函数f为偶函数,②“函数g(x)=$\frac{k-{2}^{x}}{1+k•{2}^{x}}$为奇函数的充要条件是“k=1 ,③对任意实数a.方程x2+ax-1=0有实数根,④数列{an}满足a1=1.an+1 =p•an+p(n∈N*).则“p=1 是“数列{an}是等差数列的充要条件.其中真命题的序号� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．给出的四个命题：①存在实数φ，使函数f（x）=sin（x+φ）为偶函数；②“函数g（x）=$\frac{k-{2}^{x}}{1+k•{2}^{x}}$为奇函数”的充要条件是“k=1”；③对任意实数a，方程x²+ax-1=0有实数根；④数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=p•a_n+p（n∈N^*），则“p=1”是“数列{a_n}是等差数列”的充要条件，其中真命题的序号是①③④．（写出所有真命题的序号）

分析根据诱导公式，及正余弦函数的图象和性质，可判断①；根据奇函数的定义及充要条件的定义，可判断②；根据一元二次方程根与系数的关系，可判断③；根据等差数列的定义及充要条件的定义，可判断④．

解答解：当φ=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）=sin（x+φ）=cosx为偶函数，故①正确；
若函数g（x）=$\frac{k-{2}^{x}}{1+k•{2}^{x}}$为奇函数，则函数g（-x）=$\frac{k-{2}^{-x}}{1+k•{2}^{-x}}$=$\frac{k•{2}^{x}-1}{k+{2}^{x}}$=-g（x）=-$\frac{k-{2}^{x}}{1+k•{2}^{x}}$，
解得：k=±1，
故“函数g（x）=$\frac{k-{2}^{x}}{1+k•{2}^{x}}$为奇函数”的充要条件是“k=±1”，故②错误；
对任意实数a，方程x²+ax-1=0的△=a²+4＞0恒成立，故方程一定有实数根，故③正确；
④数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=p•a_n+p（n∈N^*），
当p=1时，数列{a_n}是公差为1的等差数列，
当p=0时，数列{a_n}即不是等差数列也不是等比数列，
当p≠1且p≠0时，数列{a_n+$\frac{p}{p-1}$}是公比为p的等比数列，
故则“p=1”是“数列{a_n}是等差数列”的充要条件，故④正确，
故真命题的序号是：①③④，
故答案为：①③④