题目内容

 对于三次函数，定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，可以证明，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：

①任意三次函数都关于点对称：

②存在三次函数有实数解，点为函数的对称中心；

③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；

④若函数，则，

其中正确命题的序号为                  (把所有正确命题的序号都填上）.

 

【答案】

①②④

【解析】

试题分析：∵f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），∴f′（x）=3ax2+2bx+c，f''（x）=6ax+2b，

∵f″(x)=6a×(-)+2b=0，∴任意三次函数都关于点（-，f（-））对称，即①正确；

∵任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，

∴存在三次函数f′（x）=0有实数解x0，点（x0，f（x0））为y=f（x）的对称中心，即②正确；

任何三次函数都有且只有一个对称中心，故③不正确；

∵，∴g′（x）=x2-x，g''（x）=2x-1，

令g''（x）=2x-1=0，得x=，∵g（）=3-×()2-=-，

∴函数的对称中心是（，-），

∴g（x）+（g（1-x）=-1，

∴，故④正确．

故答案为：①②④．

考点：应用导数研究函数的性质

点评：中档题，本题综合性较强，研究函数的图象和性质。利用导数研究函数的单调性，是常用方法。

 

练习册系列答案
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（09年山东猜题卷）对于三次函数。

定义：（1）设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；

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己知，请回答下列问题：

（1）求函数的“拐点”的坐标

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则的值为     。

 

对于三次函数．

定义：（1）设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；

定义：（2）设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有成立，则函数的图象关于点对称．

己知，请回答下列问题：

（1）求函数的“拐点”的坐标

（2）检验函数的图象是否关于“拐点”对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）

（3）写出一个三次函数，使得它的“拐点”是（不要过程）

 

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