题目内容
8．已知f（x）是函数y=0.32x+3的反函数，且f（a），f（2a）都有意义．（1）求f（x）；
（2）试比较2f（2a）与4f（a）的大小，并说明理由．
分析 （1）化指数式为对数式，然后把x，y互换得答案；
（2）把2f（2a）与4f（a）代入函数f（x）的解析式，然后通过比较真数的大小，结合对数函数的单调性得到2f（2a）与4f（a）的大小．
解答 解：（1）由y=0.32x+3，得0.32x=y-3，
∴2x=log0.3（y-3），则$x=\frac{1}{2}lo{g}_{0.3}（y-3）$，
x，y互换得：$y=\frac{1}{2}lo{g}_{0.3}（x-3）$．
∴f（x）=$\frac{1}{2}lo{g}_{0.3}（x-3）$；
（2）2f（2a）=$2×\frac{1}{2}lo{g}_{0.3}（2a-3）=lo{g}_{0.3}（2a-3）$，
4f（a）=$4×\frac{1}{2}lo{g}_{0.3}（a-3）=lo{g}_{0.3}（a-3）^{2}$，
由f（a），f（2a）都有意义，得a＞3．
当3＜a＜6时，（a-3）2＜2a-3，则4f（a）＞2f（2a）；
当a=6时，（a-3）2=2a-3，则4f（a）=2f（2a）；
当a＞6时，（a-3）2＞2a-3，则4f（a）＜2f（2a）．
点评 本题考查了函数的反函数的求法，训练了作差法比较两个代数式的大小，考查了对数的运算性质，是基础题．
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20．
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如图，已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且$\overrightarrow{OQ}$=3$\overrightarrow{OP}$，则双曲线C的离心率为（ ）| A． | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ | B． | $\frac{\sqrt{7}}{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{39}}{6}$ | D． | $\sqrt{3}$ |
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