Question

已知等差数列{a_n}的公差为d，前n项和为S_n，等比数列{b_n}的前n项和为T_n，且{a_n}、{b_n}满足条件：S₄=4a₃-2，T_n=2b_n-2．
（Ⅰ）求公差d的值；
（Ⅱ）若对任意的n∈N^*，都有S_n≥S₅成立，求a₁的取直范围；
（Ⅲ）若a₁=-4，令c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和V_n．

Answer 1

分析：（I）利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可解出；
（II）利用等差前n项和公式化为（n-5）（2a₁+n+4）≥0．由于对任意的n∈N^*，都有S_n≥S₅成立，可得

n≥5 2a1+n+4≥0

且

1≤n＜5 2a1+n+4≤0

，解出即可．
（III）利用等差数列的通项公式即可得出a_n．利用n≥2时，b_n=T_n-T_n-1，n=1时b₁=T₁，及等比数列的通项公式即可得到b_n．利用“错位相减法”即可得到V_n．

解答：解：（I）设等比数列{b_n}的公比为q，由S₄=4a₃-2，得4a1+

4×3

2

×d=4(a1+2d)-2，化为6d=8d-2，解得d=1．即公差d=1．
（II）由S_n≥S₅成立，得到na1+

n(n-1)

2

×1≥5a1+

5×4

2

×1，化为（n-5）（2a₁+n+4）≥0．
由于对任意的n∈N^*，都有S_n≥S₅成立，∴

n≥5 2a1+n+4≥0

且

1≤n＜5 2a1+n+4≤0

解得-

9

2

≤a1≤-4．
∴a1∈[-

9

2

，-4]．
（III）①当a₁=-4时，a_n=-4+（n-1）×1=n-5；
②当n=1时，b₁=T₁=2b₁-2，解得b₁=2；
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=2b_n-2-（2b_n-1-2）=2b_n-2b_n-1，化为b_n=2b_n-1．
∴数列{b_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴bn=2×2n-1=2n．
∴cn=(n-5)•2n．
∴Vn=-4×21-3×22-2×23-24+0+2⁶+2×2⁷+…+（n-5）•2ⁿ，
2Vn=-4×22-3×23-2×24-2⁵+2⁷+2⁸+…+（n-6）•2ⁿ+（n-5）•2ⁿ⁺¹．
两式相减得-V_n=-8+2²+2³+…+2ⁿ+（5-n）•2ⁿ⁺¹=-10+

2×(2n-1)

2-1

+(5-n)•2n+1，
化为Vn=12+(n-6)•2n+1．

点评：数列掌握等差数列的通项公式和前n项和公式、分类讨论的思想方法、利用n≥2时b_n=T_n-T_n-1及n=1时b₁=T₁、等比数列的通项公式、“错位相减法”是解题的关键．