Question

已知函数f(x)=

x-a

ax

(a＞0)
（1）判断并证明y=f（x）在x∈（0，+∞）上的单调性；
（2）若存在x₀，使f（x₀）=x₀，则称x₀为函数f（x）的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，求a的值，并求出不动点x₀；
（3）若f（x）＜2x在x∈（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先对函数的表达式进行化简，然后根据函数单调性的定义进行判断．
（2）令x=

x-a

ax

转化为二次函数，根据该函数有且仅有一个不动点，令判别式等于0即可求出a的值．
（3）将函数解析式代入f（x）＜2x中，整理为

1

a

＜2x+

1

x

，在根据基本不等式的知识求出y=2x+

1

x

的最小值，令此最小值大于

1

a

，即可求出a的范围．

解答：解：（1）f(x)=

1

a

-

1

x

对任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＞x₂
f(x 1)-f(x 2)=(

1

a

-

1

x 1

)-(

1

a

-

1

x 2

)=

x 1-x 2

x 1x 2

∵x₁＞x₂＞0
∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，函数y=f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．
（2）解：令x=

x-a

ax

?ax2-x+a=0，
令△=1-4a2=0?a=

1

2

（负值舍去）
将a=

1

2

代入ax²-x+a=0得

1

2

x2-x+

1

2

=0?x2-2x+1=0∴x0=1
（3）∵f（x）＜2x
∴

1

a

＜2x+

1

x

∵x＞0
∴2x+

1

x

≥2

2

（等号成立当x=

2

2

）
∴

1

a

＜(2x+

1

x

) min=2

2

?a＞

2

4

∴a的取值范围是(

2

4

，+∞)

点评：本题主要考查函数单调性的定义和基本不等式的应用．考查计算能力和综合运用能力．