Question

（08年西工大附中文）已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c在x=-与x=1时都取得极值．

  (1)求a、b的值及函数f(x)的单调区间；

  (2)若对x∈[－1，2]，不等式f(x)＜c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

解析：

     （1）f(x)=x³+ax²+bx+c,    f′(x)=3x²+2ax+b,

         由f′(-)=a+b=0,   f′(1)=3+2a+b=0,得

         a=－，b=－2，…………  ３分

f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），函数f（x）的单调区间如下表：

ｘ	（-∞，－）	－	（－，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	－	0	+
f（x）		极大值		极小值

所以函数f（x）的递增区间为（－∞，－）与（1，+∞）；

递减区间为（－，1）.　　　　　　　　　　　　 …………  ６分

（2）f（x）=x³-x²-2x+c  x∈［-1，2］，当x=-时，f（x）=+c为极大值，

而f（2）=2+c，则f（2）=2+c为最大值. 　　　　　…………  ８分

要使f（x）＜c²（x∈［-1，2］）恒成立，只须c²＞f（2）=2+c，

解得c＜－1或c＞2. 　　　　　　　　　　　　　　…………  12分