Question

设复数z满足4z+2

.

z

=3

3

+i，ω=sinθ-icosθ，求z的值和|z-ω|的取值范围．

Answer 1

分析：设出复数z，利用复数相等的条件列出方程组，求出复数z，然后通过复数的模利用两角和与差的三角函数，通过正弦函数的值域，求出复数模的范围即可．

解答：解：设z=a+bi，（a，b∈R），则

.

z

=a-bi．
代入4z+2

.

z

=3

3

+i，得4（a+bi）+2（a-bi）=3

3

+i，即6a+2bi=3

3

+i．
∴

a= 3 2 b= 1 2

∴z=

3

2

+

1

2

i．
|z-ω|=|

3

2

+

1

2

i-（sinθ-icosθ）|
=

( 3 2 -sinθ)2+( 1 2 +cosθ)2

=

1- 3 sinθ+sin2θ+cosθ+cos2θ

=

2- 3 sinθ+cosθ

=

2-2sin(θ- π 6 )

．
∵-1≤sin（θ-

π

6

）≤1，∴0≤2-2sin（θ-

π

6

）≤4．
∴0≤|z-ω|≤2．

点评：本题考查复数的相等的条件的应用，复数的模以及两角和与差的三角函数，正弦函数的值域的应用，考查计算能力．