题目内容
12.已知函数f(x)满足f(logax)=(a-1)(x-$\frac{1}{x}$)(其中a>0,a≠1).(1)求函数f(x)的表达式;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明;
(3)若对一切t∈R不等式f(mt2+8)+f(m-6mt)>0成立,求实数m的取值范围.
分析 (1)令logax=t,从而得到x=at,带入原函数解析式即可得出f(x)=(a-1)(ax-a-x);
(2)容易得出f(-x)=-f(x),从而函数f(x)为奇函数;
(3)根据指数函数和单调性定义能够判断f(x)在R上为增函数,从而由该不等式可得到f(mt2+8)>f(6mt-m),从而可得到mt2-6mt+m+8>0恒成立,可考虑m是否为0:m=0时,显然满足条件,m≠0时,m需满足$\left\{\begin{array}{l}{m>0}\\{△<0}\end{array}\right.$,这样解出m的范围,合并m=0的情况即可得出实数m的取值范围.
解答 解:(1)令logax=t,则x=at;
∴f(t)=(a-1)(at-a-t);
∴f(x)=(a-1)(ax-a-x);
(2)f(x)的定义域为R;
f(-x)=(a-1)(a-x-ax)=-f(x);
∴f(x)为奇函数;
(3)ax和-a-x的单调性一致;
①0<a<1时,ax-a-x是减函数,a-1<0;
∴f(x)是增函数;
②a>1时,ax-a-x是增函数,a-1>0;
∴f(x)是增函数;
即对任意的a>0,a≠1,f(x)都是增函数;
f(x)又是奇函数;
∴由原不等式得:f(mt2+8)>f(6mt-m);
∴mt2+8>6mt-m恒成立;
即mt2-6mt+m+8>0恒成立;
①m=0时,8>0恒成立;
②m≠0时,则$\left\{\begin{array}{l}{m>0}\\{△=36{m}^{2}-4m(m+8)<0}\end{array}\right.$;
解得0<m<1;
∴实数m的取值范围为[0,1).
点评 考查换元法求函数解析式,奇函数的定义及判断过程,指数函数的单调性及增函数的定义,根据增函数的定义解不等式,一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R时,需满足$\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{△<0}\end{array}\right.$,不要漏了m=0的情况.
A. | (1,+∞) | B. | (1,2] | C. | (-∞,2) | D. | (-∞,0) |
A. | a2>b2 | B. | |a|>|b| | C. | 2a<2b | D. | a-2>b-2 |
A. | 0.750.2<1.21.3<1.21.4 | B. | 0.92<0.7-1.5<0.7-1.6 | ||
C. | (-2.5)2<23.14<2x | D. | $(-8)^{-\frac{2}{3}}<0.{2}^{\frac{1}{2}}<0.{2}^{-\frac{1}{3}}$ |