Question

椭圆的中心为原点O，离心率e=

1

2

，过右焦点F的直线l交椭圆于P、Q两点，且椭圆经过点点A（2，0）
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积．
（Ⅲ）若以OP、OQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，可求得a与c，从而可得b²，于是可得椭圆的方程；
（Ⅱ）由直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理可求得弦长|PQ，利用原点（0，0）到直线PQ的距离公式可求得d，从而可求得△POQ的面积；
（Ⅲ）若以OP、OQ为邻边的平行四边形是矩形，依题意

OP

•

OQ

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，从而可判断满足该条件的直线l的方程是否存在．

解答：解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率e=

c

a

=

1

2

，椭圆经过点点A（2，0），
∴a=2，故c=1，b²=3，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）因为直线l过椭圆右焦点F（1，0），且斜率为1，
所以直线l的方程为y=x-1．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

3x2+4y2=12 y=x-1

得7x²-8x-8=0，
∴x₁+x₂=

8

7

，x₁x₂=-

8

7

，
∴|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+kPQ2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

64 49 -4×(- 8 7 )

=

12 2

7

，
又原点（0，0）到直线PQ的距离d=

2

2

，
∴S_△POQ=

1

2

|PQ|•d=

1

2

×

12 2

7

×

2

2

=

6

7

．．
（3）当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1，
此时∠POQ大于90°，
OP，OQ为邻边的平行四边形不可能是矩形．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1）．
由

3x2+4y2=12 y=k(x-1)

可得
（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
∴x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

．
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）
∴y₁y₂=

-9k2

3+4k2

，
因为以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形?

OP

•

OQ

=0．
由

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=

4k2-12

3+4k2

+

-9k2

3+4k2

=

-5k2-12

3+4k2

=0得
5k²+12=0，这不可能．
∴所求直线的方程不存在．

点评：本题考查椭圆的标准方程，突出考查直线与圆锥曲线的位置关系及韦达定理、弦长公式、点到直线间的距离公式的综合应用，属于难题．