Question

若椭圆的中心为原点O，右焦点为F，右准线为l，若在l上存在点M，使线段OM的垂直平分线经过F，则椭圆离心率的取值范围为

[

2

2

，1)

．

Answer 1

分析：本题须注意到形助数的特点，借助平面几何知识的最值构建使问题简单化，欲求离心率的范围，此问题的实质为构造一个关于a，b，c的不等式关系即可．

解答：解：由于线段OM的垂直平分线经过点F，
∴FM=FO
则利用平面几何折线段大于或等于直线段（右焦点到准线之间的距离），
∴MF≥FH（右焦点到准线之间的距离）
∴FO≥FH，
即c≥

a2

c

-c
则有

c

a

≥

2

2

，又1＞

c

a

＞0．
则椭圆离心率的取值范围为：[

2

2

，1)．
故答案为：[

2

2

，1)．

点评：本题主要考查椭圆的基本性质．属基础题．离心率的范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系？可以利用方程和垂直平分线性质构建． 利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化，回味本题的探究过程，认识解析几何中“形助数”简化运算的途径．