Question

有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是60°，又侧棱与底面所成的角都是45°，则这个棱锥的体积是（　　）

• A．1
• B．

  3

• C．

  3

  4

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：如图，容易求出底面等腰梯形ABCD的面积．利用侧棱与底面所成的角都是45°，确定出顶点P在底面的射为RT△BAC外心．即为BC中点O，得出高PO，利用锥体体积公式计算即可．

解答：解：如图，在等腰梯形ABCD中，AD=AB=DC=1，∠ABC=60°，过A作AH⊥BC于H，
则BH=BA•cos60°=

1

2

．AH=

3

2

．
根据等腰梯形的性质，下底BC=AD+2BH=2．设O为BC中点，则BO=OC=1，△ABO为正三角形，∠BAO=60°，△AOC为等腰三角形，∠OAC=30°，
∴∠BAC=90°．
因为侧棱与底面所成的角都是45°，所以顶点P在底面的射影到ABCD各顶点的距离相等，即为等腰梯形ABCD 的外接圆的圆心，也为RT△BAC外心，即为点O，
∴PO为四棱锥的高．PO=OC=1．
又S梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）×AH=

1

2

×3 ×

3

2

=

3 3

4

∴锥体体积V=

1

3

S_梯形ABCD×PO=

3

4

故选C．

点评：本题考查锥体体积的计算，考查空间想象能力、转化、计算、推理论证能力．关键是确定出顶点P在底面的射为RT△BAC外心．