题目内容
已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为
，且经过点M（4，1）．直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点．
（1）求椭圆的方程．
（2）求m的取值范围．
（3）当m=1时，求弦长|AB|的值．
| ||
| 2 |
（1）求椭圆的方程．
（2）求m的取值范围．
（3）当m=1时，求弦长|AB|的值．
分析：（1）设出椭圆方程，利用离心率为
，且经过点M（4，1），建立方程，求出几何量，即可求椭圆的方程．
（2）直线与椭圆方程联立，利用判别式可得结论；
（3）直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，即可求弦长|AB|的值．
| ||
| 2 |
（2）直线与椭圆方程联立，利用判别式可得结论；
（3）直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，即可求弦长|AB|的值．
解答：解：（1）设椭圆方程为
+
=1（a＞b＞0），则
∵离心率为
，∴a2=4b2①
∵椭圆经过点M（4，1），∴
+
=1②
由①②可得a2=20，b2=5
∴椭圆的方程为
+
=1；
（2）将直线l：y=x+m代入椭圆
+
=1，消去y可得5x2+8mx+4m2-20=0
∵直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点
∴△=64m2-20（4m2-20）＞0，
∴-5＜m＜5；
（3）当m=1时，直线y=x+1代入椭圆方程
+
=1，消去y整理得5x2+8x-16=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
，x1x2=-
，
∴|AB|=
|x1-x2|=
•
=
•
=
．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∵离心率为
| ||
| 2 |
∵椭圆经过点M（4，1），∴
| 16 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
由①②可得a2=20，b2=5
∴椭圆的方程为
| x2 |
| 20 |
| y2 |
| 5 |
（2）将直线l：y=x+m代入椭圆
| x2 |
| 20 |
| y2 |
| 5 |
∵直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点
∴△=64m2-20（4m2-20）＞0，
∴-5＜m＜5；
（3）当m=1时，直线y=x+1代入椭圆方程
| x2 |
| 20 |
| y2 |
| 5 |
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
| 8 |
| 5 |
| 16 |
| 5 |
∴|AB|=
| 1+1 |
| 2 |
| (x1+x2)2-4x1x2 |
| 2 |
|
| 16 |
| 5 |
| 3 |
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
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