题目内容
【题目】已知函数
(1)设a>1,试讨论f(x)单调性;
(2)设g(x)=x2﹣2bx+4,当 时,任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),求实数b的取值范围.
【答案】
(1)解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),
= ,
令f'(x)=0,则x1=1, (a>1,x2<0)舍去.
令f'(x)>0,则x>1,令f'(x)<0,则0<x<1,
所以当x∈(1,+∞)时,函数f(x)单调递增;当x∈(0,1)时,函数f(x)单调递减
(2)解:当 时,
由(1)可知f'(x)=0的两根分别为x1=1,
令f'(x)>0,则0<x<1或x>3,令f'(x)<0,则1<x<3
可知函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增,
所以对任意的x1∈(0,2),有 ,
由条件知存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),
所以 即存在x2∈[1,2],使得 ,
分离参数即得到 在x∈[1,2]时有解,
由于 (x∈[1,2])为减函数,故其最小值为 ,
从而 ,所以实数b的取值范围是
【解析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)根据函数的单调性得到f(x1)≥f(1)=﹣ ,问题转化为存在x2∈[1,2],使得 ,分离参数即得到 在x∈[1,2]时有解,求出b的范围即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减.
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