Question

已知a＞0，n为正整数．
（Ⅰ）设y=（x-a）ⁿ，证明y′=n（x-a）^n-1；
（Ⅱ）设f_n（x）=xⁿ-（x-a）ⁿ，对任意n≥a，证明f_n+1′（n+1）＞（n+1）f_n′（n）．

Answer 1

解：（I）证明：令x-a=t则y=tⁿ
∴y′=nt^n-1•t′
∵t′=1
∴y′=nt^n-1
（II）f_（n+1）（x）=xⁿ⁺¹-（x-a）ⁿ⁺¹
∴f′_n+1（x）=（n+1）xⁿ-（n+1）（x-a）ⁿ
∴f′_（n+1）（n+1）=（n+1）ⁿ⁺¹-（n+1）（n+1-a）n=（n+1）（n+1）ⁿ-（n+1）（n+1-a）ⁿ
而（n+1）f_n′（n）=（n+1）nⁿ-（n+1）n（n-a）^n-1
∵（n+1）（n+1）ⁿ＞（n+1）nⁿ，
∴f′_（n+1）（n+1）＞（n+1）f_n′（n）．
分析：（I）利用复合函数的求导法则，先求出外函数与内函数的导数，再求它们的乘积．
（II）先利用复合函数的求导法则求出函数的导函数，再求x用n+1代替求出导函数值，易比较出两者的大小．
点评：本题考查复合函数的求导法则：先求外函数及内函数的导数，再求乘积；由导函数求出各个导函数值，比较出大小．